échauffement pré-rentrée

Yop, quelques exos de maths pour s'échauffer avant la rentrée ^^

Soit f définie sur R, continue en 0 telle que f(2x) = f(x)

Montrer que f est constante

Soit f : [0,1] => R une application définie et continue sur [0,1]. On suppose que f(0) = f(1) = 0, et f(x+3/10) =/= f(x).

Démontrer que f(x) = 0 admet au moins 7 solutions sur [0,1].


Soit x un réel. Calculer S = Somme de k = 0 à k = n des (k parmis n)*cos(kx)
et S' = Somme de k = 0 à k = n des (k parmis n)*sin(nx)

Soit Hn = Somme (de k = 1 à k = n) des 1/k

Montrer que Hn n'appartient jamais à N

Soit f continue sur [a,b]

Montrer que | intégrale de f sur [a,b] | =< intégrale de |f| sur [a,b]

bonne idée ce topic



aloors si je ne me trompe pas :

Soit f définie sur R, continue en 0 telle que f(2x) = f(x)

Montrer que f est constante

Spoiler:

Soit f : [0,1] => R une application définie et continue sur [0,1]. On suppose que f(0) = f(1) = 0, et f(x+3/10) =/= f(x).

Démontrer que f(x) = 0 admet au moins 7 solutions sur [0,1].

Spoiler:

Soit x un réel. Calculer S = Somme de k = 0 à k = n des (k parmis n)*cos(kx)
et S' = Somme de k = 0 à k = n des (k parmis n)*sin(nx)

Spoiler:

Soit f continue sur [a,b]

Montrer que | intégrale de f sur [a,b] | =< intégrale de |f| sur [a,b]

Spoiler:

par contre la question avec les Hn je connaissais déjà une démonstration alors ça compte pas
(en passant Hn est entier pour n=1 )

merci pour les exos

à mon tour :
soit k un réel strictement positif et f définie sur IR
montrer que si pour tous x, y dans IR , on a : |f(x)-f(y)|=<k|x-y| alors f est continue sur IR

=/= c'est "différent de"
oui pour Hn c'est n >= 2 ^^

et pour ton exo

Spoiler:

exact, elle est k-lipschitzienne (t'es bon )

Spoiler:

sinon pour la fonction f(x+3/10)≠f(x) j'ai un peu ramé mais je crois avoir trouvé

Spoiler:

la rédaction la plus propre est de poser g(x) = f(x+3/10) - f(x). Mais sinon c'est ça

Un peu d'arithmétique ne peut pas faire de mal!

Soit n un naturel tq n > 2. Montrer que si (2^n)-1 est premier, alors n est premier

Montrer que si un naturel n a exactement 3 diviseurs naturels, alors n est le carré d'un nombre premier

Soit n un naturel tq n > 2. Montrer que si (2^n)-1 est premier, alors n est premier

Spoiler:

Spoiler:

J'ajoute :
"Résoudre pour x, y entier naturels strictement positifs : (1/x)+(1/y)=1/5"

et :
"Quels sont les entiers naturels n tels que n⁴+2n³+3n²+1 soit un carré ?"

J'vais ça en rentrant, j'vais pas tarder à partir pour rentrer en france ^^ j'y réfléchirai dans l'avion, j'ai le temps

ookay bon vol

le premier quand meme

1/x + 1/y = 1/5 c'est comme (x-5)(y-5)=25

les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25

donc x = 6 et y = 30
x = 10 et y = 10
x = 30 et y = 6

Très bonne idée comme topic, je me suis bien amusé avec vos exo et je dois avouer que j'ai pas tout trouvé ... Mais bon les vacances m'ont ramoli le cerveau ^^
Je vous propose ma spécialité, la trigo ... Je commence soft, amusez vous bien :
a,b,c sont les angles d'un triangle non rectangle. Montrez que :
tan a + tan b + tan c = tan(a)tan(b)tan(c)

aah la trigo il est rigolo

Spoiler:

bon bonne nuit je vais me coucher

Bien alors on peut passer à plus serieux :
Pn = cos(a)cos(a/2)...cos(a/2^n)

simplifier Pn puis calculez la limite quand n tend vers l'infini.

je crois :

Spoiler:

bon j'ai plus d'exo en tête j'irai voir

Ah là ça coince :p
Mais c'est la bonne piste ^^

c'est pas ça O.O ?

T'es partis sur des sin, pourquoi tu te retrouve avec des cos après ? Enfin le résultat final est faux oui ... Mais c'est la bonne piste ^^

aah mais oui j'suis nunuche j'ai écrit cos à la place de sin
c'est plutôt ça :

Spoiler:

Pourquoi tu transforme pas aussi le cos ? puis en bas tu as un bug car c'est l'infini fois 0 .... Comment tu fais pour la limite

la limite par encadrement non ? (édit : ça c'est faux, ayayay)

Nan tu peux pas faire ça, ça serait encadrer entre moins l'infini et plus l'infini. Il faut utiliser les limites remarquables des sin !!

heinN ??! j'ai du rater qqch je vais voir

bon si c'est pas bon c'est que je suis ou mauvais ou fatigue (ou les deux)

Spoiler:

p.s. : desole j'ecris assez salement


ssssssstreeeess si j'ai encore faux


édit : la formule est bonne (mais on peut encore la simplifier) mais la limite est archi fausse

Je ne vois pas d'erreur flagrante, mais il y'a des trucs louches ... Enfin est ce que tu as le droit de multiplier par 1/(2^n) quand n tend vers l'infini ? (c'est à dire multiplier par 0) ou encore encadré un sin (a/2^n) quand n tend encore vers l'infini, c'est à dire que le dénominateur tend vers 0, disons que ça doit être la fatigue

Bon si tu veux ma vision de la chose, je te post ce que j'avais fait :

Spoiler:

Dis moi ce que tu en penses ...